Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness

 

 

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http://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.html

TALKS

Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness

FILMED FEB 2010 • POSTED JUL 2010 • TED2010

Trascritto del video in italiano (ci sono anche altre lingue):

Molte grazie. Per favore scusatemi se sono seduto; sono anziano. (Risate) Dunque, l'argomento che tratterò è uno che in qualche modo è molto particolare perché è veramente vecchio. La rugosità fa parte della vita umana da sempre e per sempre. Antichi autori hanno scritto al riguardo. Era assai poco controllabile. Ed in un certo senso, sembrava essere il massimo della complessità, solo disordine, disordine e disordine. Ci sono molti tipi di disordine. Ora, in realtà, per un completo colpo di fortuna, molti anni fa fui coinvolt o nello studio di questa forma di complessità. E con mia totale meraviglia, trovai tracce -- segnali molto forti, devo dire -- di ordine in questa rugosità. E così, oggi vorrei presentarvi qualche esempio di quello che essa rappresenta. Preferisco la parola rugosità a quella di irregolarità perché irregolarità -- per qualcuno che come me ha conosciuto il latino nella mia lontana gioventù -- significa il contrario di regolarità. Ma non è così. Regolarità è il contrario di rugosità perché l'aspetto basilare del mondo è molto aspro, ruvido, incostante.
Quindi lasciate che vi mostri qualche oggetto. Alcuni di essi sono artificiali. Altri sono davvero reali, in un certo senso. Ora questo è quello reale. E' un cavolfiore. Ora, perché mostro un cavolfiore, un ortaggio così ordinario ed antico? Perché per quanto antico e vecchio possa essere, è davvero complicato ma molto semplice allo stesso tempo. Se provate a pesarlo, ovviamente è molto facile farlo. E quando lo mangiate, il peso conta. Ma supponiamo che proviate a misurarne la superficie. Bene, questo è molto interessante. Se tagliate, con un coltello affilato, una delle cimette di un cavolfiore e la osservate separatamente, vi sembrerà un intero cavolfior e, ma più piccolo. E se lo tagliate ancora, ancora, ancora, ancora, ancora, ancora, ancora, ancora, ancora. Otterrete cavolfiori sempre più piccoli. Così l'umanità ha da sempre fatto esperienza di forme che hanno questa particolare proprietà, che ogni parte è come il tutto, ma più piccolo. Ora, cosa ha a che fare questo con l'umanità? Poco, veramente poco. (Risate)
Quindi quello che effettivamente feci fu studiare questo problema, e trovai qualcosa piuttosto sorprendente: che la rugosità può essere misurata con un numero, un numero, 2.3, 1.2 e qualche volta anche molto di più. Un giorno, un mio amico, per scocciarmi, mi mostrò un quadro, e disse: "Qual è la rugosità di questa curva?" io risposi: "Bè, un po' meno di 1.5". Era 1.48. A dire il vero, non mi ci volle molto. Stavo studiando queste cose da così tanto tempo. Quindi questi numeri sono i numeri che indicano la rugosità di queste superfici. Mi affretterò nel dire che queste superfici sono completamente artificiali. Sono state realizzate al computer. E l'unico input è un numero. E quel numero è la rugosità. E quindi sulla sinistra, ho posto la rugosità copiata da vari paesaggi. Sulla destra, ne ho posto un valore maggiore. Così l'occhio, dopo un m omento, può distinguerli molto bene.
L'umanità aveva bisogno di imparare a misurare la rugosità. Questo è molto ruvido, questo è piuttosto liscio, questo è perfettamente liscio. Veramente poche cose sono molto liscie. Quindi se provate a chiedervi: Qual è la superficie di un cavolfiore? Bene, misurerete e misurerete e misurerete. Man mano che v i avvicinate diventerà più grande, fino a piccole, piccolissime distanze. Qual è la lunghezza della riva di questi laghi? Più vi avvicinerete, più lunga risulterà. Il concetto di lunghezza di una linea costiera, che sembra essere così naturale perché è scontato in molti casi, è, in effetti, completamente fallace; non esiste in termini così semplici. Dovete agire differentemente.
A che cosa serve, sapere queste cose? Bè, in maniera piuttosto sorprendente, serve a molte cose. Per cominciare, i paesaggi artificiali, di cui ho inventato delle specie sono usati molto spesso nel cinema. Vediamo montagne in lontananza. Possono essere montagne, ma possono anche essere solo formule. Ora è davvero facile da fare. Un tempo si impiegava molto tempo, ma ora non ci vuole niente. Ora guardate qui. E' un vero polmone. Un polmone è qualcosa di veramente strano. Se lo prendete, sapete sicuramente che pesa molto poco. Il volume di un polmone è molto piccolo. Ma cosa sappiamo dell'area della superficie del polmone? Gli anatomisti ne hanno discusso veramente tanto. Qualcuno dice che il polmone dell'uomo medio ha un'area al suo interno equivalente a quella di un pallone da basket. Altri dicono, no, cinque palle da basket. Enormi disaccordi. Perché? Perché, in effe tti, l'area del polmone è qualcosa di veramente mal-definito. I bronchi si ramificano, ramificano e ramificano. E smettono di ramificarsi, non in base a qualche principio, ma a causa di considerazioni fisiche, il muco, che è nel polmone. Quindi quello che succede è che questo è il modo per avere un polmone più grande, ma si ramifica e ramifica, fino a distanze che sono le stesse per una balena, per un uomo e per un piccolo roditore.
Dunque, cose c'è di buono in questo? Bè, abbastanza sorprendentemente, abbastanza incredibilmente, gli anatomisti avevano ben poche idee della struttura del polmone fino a poco tempo fa. E io credo che la mia matematica, abbastanza sorprendentemente, sia stata di grande aiuto ai chirurghi studiosi di malattie polmonari e di malattie renali, tutti questi sistemi ramificati, per i quali non esisteva una geometria. Quindi mi trovai, in altre parole, a costruire una geometria, una geometria di oggetti che non avevano una geometria. E l'aspetto sorprendente di questo è che molto spesso, le regole di questa geometria sono estremamente corte. Esistono formule di questa lunghezza. Le macinate varie volte. Qualche volta ripetutamente, ancora, ancora, ancora. La stessa iterazione. Ed alla fine ottenete cose come queste.
Questa nuvola è completamente, 100 per cento artificiale. Bè, 99.9. E l'unica parte che è naturale è un numero, la rugosità della nuvola, che è tratto dalla natura. Qualcosa così complicato come una nuvola, così instabile, così variabile, avrebbe dunque una semplice regola alle sue spalle. Comunque questa semplice regola non è una spiegazione delle nuvole. E' al profeta delle nuvole a cui dobbi amo chiedere spiegazione. Non so quanto siano avanzate queste foto, sono vecchie. Ero molto coinvolto in questo, quando rivolsi la mia attenzione ad un altro fenomeno.
Quindi ecco un'altra cosa Che è piuttosto interessante. Uno degli eventi sconvolgenti nella storia della matematica, che non è apprezzato da molta gente, avvenne circa 130 anni fa, 145 anni fa. I matematici cominciarono a creare forme che non esistevano. I matematici ebbero la presunzione tale da suscitare sorpresa di potere inventare cose che la natura non conoscesse. In particolare, si possono inventare cose come una curva che riempia un piano. Ora, una curva è una curva, un piano è un piano, e i due non si mescolano. Bè, in effetti si mescolano. Un uomo chiamato Peano definì tali curve, e divennero oggetti di straordinario interesse. Era davvero importante, ma soprattutto interessante perché era in atto una specie di rottura, una separazione tra la matematica che proviene dalla realtà, da un lato, e la nuova matematica che viene dalla pura mente umana. Bè, mi dispiacque molto puntualizzare che la pura mente umana ha, in effetti, visto alla fine quello che era stato visto per molto tempo. E così qui introduco qualcosa, l'insieme dei fiumi di curve che riempiono il piano. Ebbene, questa è la storia stessa. Quindi fu tra il 1875 e il 1925, un periodo straordinario in cui la matematica si preparava a uscire dal mondo. E gli oggetti che venivano usati come esempi, quando ero un bambino e uno studente, della rottura tra la matematica e la realtà tangibile -- questi oggetti, li capovolsi completamente. Li usai per descrivere alcuni aspetti della complessità della natura.
Ebbene, un uomo chiamat o Hausdorff nel 1919 introdusse un numero che era soltanto un capriccio matematico. Ed io trovai che questo numero era una buona misura della rugosità. Quando in principio lo raccontai ai miei amici matematici dissero: "Non essere sciocco. E' solo una sciocchezza". Bè, in realtà, non fui uno sciocco. Il grande pittore Hokusai lo sapeva molto bene. Gli oggetti sul terreno sono alghe. Non conosceva la matematica; non esisteva neanche. Ed era giapponese, il che gli precludeva contatti con l'occidente. Ma la pittura per molto tempo ebbe un lato frattale. Potrei parlare di questo per tanto tempo. La torre Eiffel ha un aspetto frattale. Ho letto il libro che Mr. Eiffel scrisse sulla sua torre. E di sicuro fui meravigliato di quanto avesse capito.
Questo è il caos, caos, caos, loop browniano. Un giorno ad un certo punto della mia carriera avendo accumulato così tante cose nel mio lavoro, decisi di testare me stesso. Potrei anche soltanto osservare qualcosa che qualcuno abbia osservato per molto tempo e trovare qualcosa di drammaticamente nuovo? Bene, osservai queste cose chiamate moto browniano -- qualcosa che gira intorno. Ci giocai per un po', e le riportai all'origine. Poi dissi al mio assistente: "Non vedo niente. Puoi dipingerlo?" Così lui lo dipinse, il che significa che ci inserì dentro tutto. Disse: "Bè, qualcosa esce fuori ..." Ed io dissi: "Fermo! Fermo! Fermo! Io vedo ... questa è un'isola". E sorpresa. Quindi il moto browniano, che ha un numero di rugosità uguale a due, va in giro. L'ho misurato, 1.33. Ancora, ancora, ancora. Lunghe misurazioni, grandi moti browniani, 1.33. Problema matematico: come dimostrarlo? Ai miei amici ci sono voluti venti anni. Tre di loro stavano avendo dimostrazioni incomplete. Si sono messi insieme, ed insieme ne hanno ottenuto una dimostrazione. Così hanno ottenuto la prestigiosa medaglia [Fields] in matematica, una delle tre medaglie che la gente ha ricevuto per aver provato cose che io ho visto senza essere capace di dimostrarle.
Ora tutti mi chiedono ad un certo punto: "Com'è cominciato il tutto? Che cosa ti ha spinto in questo strano business?" Che cosa mi ha reso allo stesso tempo, un ingegnere meccanico, un geografo ed un matematico e così via, un fisico? Bé, in realtà cominciai, abbastanza insolitamente, studiando i prezzi dei mercati finanziari. E così qui proposi questa teoria, ed ho scritto libri a proposito di questo, incrementi dei prezzi finanziari. Sulla sinistra vedete i dati su lungo periodo. Sulla destra, in alto, vedete una teoria che è davvero, davvero alla moda. Fu molto facile, e potreste scrivere numerosi libri molto velocemente riguardo a q uesto. (Risate) Ci sono migliaia di libri su questo. Ora comparate questo con reali incrementi di prezzo. Dove sono i reali incrementi di prezzo? Bé, queste altre linee includono dei reali incrementi di prezzo e qualche falsificazione che ho fatto. Quindi l'idea era che si fosse in grado di -- come dire? -- modellizzare la variazione dei prezzi. Ed andò molto bene 50 anni fa. Per 50 anni la gente si faceva quasi beffa di me perché potevano farlo molto, molto più facilmente. Ma vi dirò, a questo punto, le persone mi inziarono ad ascoltare. (Risate) Queste due curve sono medie. Standard & Poor, la blu. E la rossa è quella di Standard & Poor, da cui le cinque più grandi discontinuità sono state eliminate. Le discontinuità sono un fastidio. Quindi in molti studi sui prezzi, uno le mette da parte. Bene, forza maggiore. E quello che rimane è un piccolo rumore. Forza maggiore. In questa immagine cinque cause di f orza maggiore sono tanto importanti come il tutto. In altre parole, non sono le cause di forza maggiore che dobbiamo mettere da parte. Questo è il succo, il problema. E se padroneggiate questo, padroneggiate i prezzi. E se non lo padroneggiate, potete padroneggiare il piccolo rumore al meglio che potete, ma non sarà importante. Bene, qui ci sono le curve per questo.
Dunque, s ono arrivato alla cosa finale, che è l'insieme a cui il mio nome è associato. In un certo modo è la mia biografia. La mia adolescenza fu spesa durante l'occupazione tedesca della Francia. E dato che pensavo che sarei potuto sparire in un giorno o in una settimana, facevo dei sogni enormi. E dopo la guerra, incontrai uno zio di nuovo. Mio zio era un matematico davvero importante e mi disse: "Senti, c'è un problema che non ho potuto risolvere 25 anni fa, e che nessuno può risolvere. Questa è una costruzione di un certo [Gaston] Julia e [Pierre] Fatou. Se tu potessi trovare qualcosa di nuovo, qualsiasi cosa, avresti una carriera già fatta." Semplicissimo. E così cercai, e come le migliaia di persone che ci avevano provato prima, non trovai niente.
Ma poi fu la volta del computer. E decisi di applicare il computer, non ai nuovi problemi in matematica -- come questo viavai, questo è un nuovo problema -- ma ai vecchi problemi. Ed arrivai da quelli che sono chiamati numeri reali, che sono i punti su una retta, ai cosiddetti numeri complessi, o immaginari, che sono i punti su un piano, che è ciò che si dovrebbe fare qui. E questa forma venne fuori. Questa forma è di una complessità straordinaria. L' equazione è nascosta qui, z va in z al quadrato, più c. E' così se mplice, così secco. E' così poco interessante. Ora, se si gira la manovella una volta, poi due, due, vengono fuori le meraviglie. Cioè, viene fuori questo. Non voglio spiegare queste cose. Si ottiene questo. Si ottiene questo. Forme che sono di una tale complessità, tale armonia e tale bellezza. Si ottiene questo ripetutamente, ancora, ancora, ancora. E quello che fu una delle mie più grandi scoperte fu scoprire che queste isole erano identiche alla cosa intera, più o meno. E poi ci sono queste straordinarie decorazioni barocche ovunque. Tutto da questa piccola formula, che contiene solo cinque simboli. E poi questo. Il colore è stato aggiunto per due motivi. Primo, perchè queste forme sono così complicate, che non si arriverebbe mai a dare un senso a questi numeri. E se li inserite, dovete scegliere qualche sistema. E quindi il mio principio è stato quello di presentare le forme con differenti colorazioni, perch&e acute; alcune colorazioni enfatizzano questa, o l'altra cosa. E' così complicato.
(Risate)
Nel 1990, ero a Cambridge, nel Regno Unito, per ricevere un premio dall'università. E tre giorni dopo, un pilota che stava volando sopra la campagna trovò questa cosa. Quindi questo da dove viene fuori? Ovviamente, dagli extraterrestri. (Risate) Ebbene, il quotidiano di Cambridge pubblicò un articolo su questa 'scoperta' e ricevette il giorno successivo 5000 lettere da persone che dicevano: "Ma questo è semplicemente un insieme di Mandelbrot molto grande".
Bene, lasciatemi finire. Questa forma qui è uscita fuori da un esercizio di pura matematica. Meraviglie senza fondo saltano fuori da semplici regole, che sono ripetute all'infinito.
Molte grazie.